Cos'è teorema di binet?

Teorema di Binet

Il Teorema di Binet, in algebra lineare, fornisce una formula per il calcolo del determinante del prodotto di due matrici. Afferma che il determinante del prodotto di due matrici quadrate (di uguale dimensione) è uguale al prodotto dei determinanti delle due matrici.

Più formalmente, se A e B sono due matrici quadrate di dimensione n x n, allora:

det(AB) = det(A) * det(B)

Applicazioni e Significato:

• Calcolo dei determinanti: Il teorema di Binet semplifica il calcolo dei determinanti di matrici complesse ottenute come prodotto di altre matrici.
• Dimostrazioni teoriche: Viene utilizzato in molte dimostrazioni teoriche in algebra lineare, in particolare quelle riguardanti <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/matrici%20invertibili">matrici invertibili</a> e autovalori.
• Trasformazioni lineari: Il determinante di una matrice rappresenta un fattore di scala del volume quando la matrice rappresenta una trasformazione lineare. Il teorema di Binet mostra come la composizione di trasformazioni lineari si riflette nel prodotto dei determinanti.

Generalizzazioni:

Il teorema di Binet può essere generalizzato per il caso in cui A è una matrice m x n e B è una matrice n x m, con m ≤ n. In questo caso, det(AB) può essere espresso come una somma di prodotti di determinanti di sottomatrici di A e B. Questa generalizzazione è a volte chiamata formula di Cauchy-Binet.

Esempio:

Siano A e B le seguenti matrici 2x2:

A = [ [1, 2], [3, 4] ] B = [ [5, 6], [7, 8] ]

Allora:

det(A) = (1 * 4) - (2 * 3) = -2 det(B) = (5 * 8) - (6 * 7) = -2

AB = [ [19, 22], [43, 50] ]

det(AB) = (19 * 50) - (22 * 43) = 950 - 946 = 4

E infatti:

det(A) * det(B) = (-2) * (-2) = 4

Concetti Correlati:

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